אי-שוויון הממוצעים

המקרה n = 2

נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq (a-b)^{2}&=a^{2}-2ab+b^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab\\&=(a+b)^{2}-4ab\\4ab&\leq (a+b)^{2}\\G_{2}&={\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}=A_{2}\end{aligned}}}$

קל לראות כי ${\displaystyle H_{2}A_{2}=G_{2}^{2}}$ ולכן משום ש-${\displaystyle G_{2}\leq A_{2}}$ בהכרח ${\displaystyle H_{2}\leq G_{2}}$.

הוכחתו של קושי

קושי הוכיח את האי-שוויון ${\displaystyle G_{n}\leq A_{n}}$ בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה":

ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות ${\displaystyle n}$ מספרים, אזי הוא מתקיים לסדרות בנות ${\displaystyle 2n}$ מספרים – ולכן, באינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות ${\displaystyle 2^{m}}$ מספרים, לכל ${\displaystyle m}$. בנוסף לכך, הראה קושי שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים אזי הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מחזקה של שתיים כלשהי, ההוכחה הושלמה.

הצעד הראשון: נניח כי האי-שוויון מתקיים לכל ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ חיוביים. אז

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}&={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}\\\\&={\frac {{\dfrac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}+{\dfrac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}}{2}}\\\\&\geq {\frac {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}+{\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}{2}}\\\\&\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}}\\\\&={\sqrt {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}\cdot a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}\\\\&={\sqrt[{2n}]{a_{1}\cdots a_{2n}}}\end{aligned}}}$$

כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל ${\displaystyle n}$, והשני מן המקרה ${\displaystyle n=2}$.

הצעד השני: נניח כי האי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל ${\displaystyle n}$; אם נתונים ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}}$ כאשר ${\displaystyle m<n}$, נסמן ${\displaystyle a={\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}}{m}}}$ ונקבל

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{m}\cdot a^{n-m}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}+(n-m)a}{n}}=a}$

ולכן ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{a_{1}\cdots a_{m}}}\leq a}$.

את האי-שוויון ${\displaystyle H_{n}\leq G_{n}}$ אפשר להוכיח בדרך דומה.

הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן

ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי

${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}$

לכל פונקציה ${\displaystyle f}$ קמורה. אם משתמשים בפונקציה exp, ומציבים ${\displaystyle x_{i}=\ln(a_{i})}$, מתקבל

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}$