אי-שוויון המשולש האינטגרלי

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

המשפט

משפט: אם ${\displaystyle f\,}$ היא פונקציה אינטגרבילית בקטע ${\displaystyle [a,b]\,}$ אזי מתקיים ${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x}$.

הערה: ניתן להוכיח כי אם ${\displaystyle \,f}$ אינטגרבילית בקטע ${\displaystyle \,[a,b]}$, אז גם ${\displaystyle \,|f|}$ אינטגרבילית שם.

הוכחה

מהגדרת הערך המוחלט, לכל ${\displaystyle x\in [a,b]}$ מתקיים ${\displaystyle -|f(x)|\leq f(x)\leq |f(x)|}$,

ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק ש- ${\displaystyle \int _{a}^{b}-|f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x}$.

מליניאריות האינטגרל נקבל ש- ${\displaystyle -\int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x}$.
בסה"כ קיבלנו כי ${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x}$.