המשפט היסודי של האלגברה

הוכחה אנליטית אלמנטרית

יהי ${\displaystyle p(z)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}}$ פולינום.

למה: לפונקציה ${\displaystyle |p|}$ יש מינימום במישור המרוכב.

הוכחה: יהיה ${\displaystyle r>0}$ כך שלכול ${\displaystyle z}$ המקיים ${\displaystyle |z|\geq r}$ מיתקיים ${\displaystyle abs(p(z))>abs(p(0))}$. לפי משפט ויירשטראס לפונקציה ${\displaystyle |p|}$ יש מינימום בעיגול ${\displaystyle \{z||z|\leq r\}}$. לפי ההנחה על ${\displaystyle r}$ מינימום זה חייב להיות גם מינימום גלובלי של הפונקציה ${\displaystyle |p|}$.

בה"כ (על ידי הזזה של ${\displaystyle p}$ לפי הצורך), נניח כי ל- ${\displaystyle |p|}$ יש מנימום מקומי ב-0. נניח בשלילה ש ${\displaystyle p(0)\neq 0}$. בה"כ (על ידי חלוקה ב-${\displaystyle p(0)}$), נניח גם ש-${\displaystyle p(0)=1}$. נקבל ${\displaystyle p(z)=1+a_{k}z^{k}+\cdots +a_{n}z^{n}}$. קל לראות כי עבור ${\displaystyle z}$ מספיק קטן, מתקיים${\displaystyle |a_{k}z^{k}|>\left|\sum _{i=k+1}^{n}a_{i}z^{i}\right|}$. נבחר ${\displaystyle z}$ כך ש-${\displaystyle a_{k}z^{k}=-1}$. כעת עבור ${\displaystyle \alpha }$ ממשי חיובי קטן מספיק נקבל ${\displaystyle |p(\alpha z)|<1}$ בסתירה לכך של- ${\displaystyle |p|}$ יש מנימום מקומי ב-0.

הוכחה באמצעות משפט ליוביל

נניח ${\displaystyle p:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ פולינום לא קבוע ללא שורשים מרוכבים, המקיים ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }|p(z)|=\infty }$. אם נתבונן בפונקציה ${\displaystyle g(z)={\frac {1}{p(z)}}}$, הגבול שלה באינסוף הוא 0, ומהיותה פונקציה שלמה (כהרכבה של פונקציות שלמות כאשר ל-${\displaystyle p(z)}$ אין אפסים) בפרט היא גם חסומה. ממשפט ליוביל נקבל שהפונקציה ${\displaystyle p(z)}$ קבועה, וזאת בסתירה להנחה המקורית שהפולינום ${\displaystyle p(z)}$ לא קבוע. כלומר לפולינום לא קבוע מעל המרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד.

הוכחה באמצעות עקרון המינימום

עקרון המינימום הוא מסקנה מעקרון המקסימום:

תהי ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ פונקציה הולומורפית לא קבועה, כאשר ${\displaystyle U}$ קבוצה פתוחה וקשירה. אזי קיים ל-${\displaystyle |f(z)|}$ מינימום מקומי ב-${\displaystyle z_{0}}$ אם ורק אם ${\displaystyle f(z_{0})=0}$.

הוכחת עקרון המינימום היא בדרך בשלילה, תוך התבוננות בפונקציה ${\displaystyle {\frac {1}{f(z)}}}$ המקבלת מקסימום מקומי ב-${\displaystyle z_{0}}$ – בסתירה לעקרון המקסימום.

פולינום ${\displaystyle p:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ הוא פונקציה כזו. מהלמה למעלה, קיים ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ כלשהו עבורו ${\displaystyle |p(z_{0})|=\min _{z\,\in \,\mathbb {C} }|p(z)|}$ ולכן, מעקרון המינימום נובע ש: ${\displaystyle p(z_{0})=0}$.

הוכחה באמצעות תורת גלואה ומשפט סילו

הוכחה זו מבוססת על משפט ערך הביניים, ממנו ניתן להסיק כי לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מכאן שפולינום אי-פריק ממעלה אי-זוגית מוכרח להיות ליניארי.

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי ${\displaystyle K/\mathbb {C} }$. מכיוון שגם ${\displaystyle K/\mathbb {R} }$ ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממאפיין אפס היא ספרבילית, נובע כי ${\displaystyle K}$ היא הרחבת גלואה.

תהי ${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/\mathbb {R} )}$ חבורת גלואה של ההרחבה ${\displaystyle K/\mathbb {R} }$. תהי ${\displaystyle H}$ חבורת 2-סילו של ${\displaystyle G}$. האינדקס ${\displaystyle [G:H]}$ של ${\displaystyle H}$ ב-${\displaystyle G}$ הוא אי זוגי. לכן הממד של שדה השבת ${\displaystyle L=K^{H}}$ מעל ${\displaystyle \mathbb {R} }$ הוא אי-זוגי, אבל אז הפולינום המינימלי של כל איבר הוא ליניארי, כלומר ${\displaystyle L=\mathbb {R} }$. מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע כי ${\displaystyle G=H}$, כלומר ${\displaystyle G}$ היא חבורת-2, כלומר הסדר שלה הוא חזקה של 2. לכן קיימת לה תת-חבורה מאינדקס 2. שוב מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע שקיימת הרחבת ביניים ${\displaystyle \mathbb {C} \leq M\leq K}$ כך ש-${\displaystyle [M:\mathbb {C} ]=[G:N]=2}$. אבל כל פולינום ממעלה 2 מעל ${\displaystyle \mathbb {C} }$ מתפרק לגורמים ליניאריים לפי הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שנייה והוצאת שורש לפי משפט דה מואבר. מכאן ${\displaystyle N=1}$ והממד של ${\displaystyle K}$ מעל הממשיים הוא 2, כלומר ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$.

הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית

הוכחה זו מסתמכת על החבורה היסודית של מעגל היחידה, שכידוע מקיימת ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1},1)\cong \mathbb {Z} }$. נשתמש בסימון ${\displaystyle \alpha _{n}}$ למסילה ${\displaystyle \alpha _{n}(s)=e^{2\pi isn}}$ שמקיפה את המעגל ${\displaystyle n}$ פעמים (כשהסימן של ${\displaystyle n}$ הוא הכיוון). אנו יודעים כי כל מסילה כזו נמצאת במחלקת שקילות אחרת בחבורה היסודית של מעגל היחידה.

יהי ${\displaystyle p(z)}$ פולינום מדרגה ${\displaystyle n}$. נוכל להניח ללא הגבלת הכלליות כי הפולינום מתוקן ונוכל לרשום ${\displaystyle p(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}}$. נניח כעת כי לפולינום אין שורשים, ונוכיח כי ${\displaystyle n=0}$.

לכל ${\displaystyle 0\leq r\in \mathbb {R} }$ נגדיר מסילה ${\displaystyle f_{r}(s)={\frac {p(re^{2\pi is})/p(r)}{|p(re^{2\pi is})/p(r)|}}}$. קל להבחין כי זו מסילה על מעגל היחידה (${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$) עם נקודות קצה ${\displaystyle f_{r}(0)=f_{r}(1)=1}$.

עבור ${\displaystyle r=0}$, מתקיים ${\displaystyle f_{0}(s)={\frac {p(0)/p(0)}{|p(0)/p(0)|}}=1}$, ולכן ${\displaystyle f_{0}=\alpha _{0}}$.

בנוסף, ברור כי לכל ${\displaystyle r}$ המסילות ${\displaystyle f_{r},f_{0}}$ הן הומוטופיות (בעזרת ההומוטופיה ${\displaystyle F(t,s)=f_{t}(s)}$), ומכאן ${\displaystyle f_{r}\sim f_{0}=\alpha _{0}}$.

נקבע ${\displaystyle r>\max {\Big \{}1,|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|{\Big \}}}$. כעת לכל ${\displaystyle z}$ כאשר ${\displaystyle |z|=r}$ מתקיים:

${\displaystyle {\begin{aligned}|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}|&\leq |a_{n-1}||z^{n-1}|+\cdots +|a_{0}|\\&=|a_{n-1}|r^{n-1}+\cdots +|a_{0}|\\&\leq |a_{n-1}|r^{n-1}+\cdots +|a_{0}|r^{n-1}\\&=r^{n-1}(|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|)\\&<r^{n}=|z^{n}|\end{aligned}}}$

כלומר ${\displaystyle |a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}|<|z^{n}|}$.

מכאן שלכל ${\displaystyle t\in [0,1]}$ לפולינום ${\displaystyle p_{t}(z)=z^{n}+t(a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0})}$ אין שורשים המקיימים ${\displaystyle |z|=r}$.

לכל ${\displaystyle t\in [0,1]}$ נגדיר ${\displaystyle g_{t}(s)={\frac {p_{t}(re^{2\pi is})/p_{t}(r)}{|p_{t}(re^{2\pi is})/p_{t}(r)|}}}$.
עבור ${\displaystyle t=0}$ מקבלים ${\displaystyle p_{0}(z)=z^{n}}$ ולכן ${\displaystyle g_{0}(s)={\frac {(re^{2\pi is})^{n}/r^{n}}{|(re^{2\pi is})^{n}/r^{n}|}}=e^{2\pi isn}}$, פירוש הדבר ${\displaystyle g_{0}=\alpha _{n}}$.
עבור ${\displaystyle t=1}$ מקבלים ${\displaystyle p_{1}(z)=p(z)}$ ולכן ${\displaystyle g_{1}(s)=f_{r}(s)}$.
כמקודם, מתקיים שהמסילות ${\displaystyle g_{0}}$ הומוטופית ${\displaystyle g_{1}}$ (בעזרת ההומוטופיה ${\displaystyle G(t,s)=g_{t}(s)}$).

לסיכום, ${\displaystyle \alpha _{0}=f_{0}\sim f_{r}=g_{1}\sim g_{0}=\alpha _{n}}$, ולכן ${\displaystyle \alpha _{0}\sim \alpha _{n}}$, ומהחישוב עבור החבורה היסודית של המעגל, הנ"ל מתקיים אם ורק אם ${\displaystyle n=0}$.

הוכחה באמצעות משפט רושה

קל לראות, שעבור מעגל מספיק גדול (סביב 0), האיבר המוביל של הפולנום ${\displaystyle p}$ גדול יותר (על פי ערכו המוחלט) מכל יתרת הפולנום ${\displaystyle p}$. לכן, לפי משפט רושה מספר האפסים (כולל ריבוי) של איבר זה בתוך העיגול המתאים שווה למספר האפסים של ${\displaystyle p}$. מספר זה הוא ${\displaystyle n}$.